Algebra — aller Anfang ist leicht by Peter Göthner, Herbert Kästner

By Peter Göthner, Herbert Kästner

"Gebranntes sort scheut das Feuer", und zwar scheut es jedes Feuer, obgleich es sich nur an einem ganz bestimmten gebrannt hat: es hat seine Erfahrungen verallgemeinert. Wir wollen in diesem Büchlein viele unserer Erfahrungen mit der Mathematik verallgemeinern. Beispielsweise werden wir sehen, daß der Einteilung aller Brüche in Klassen quotientengleicher Brüche, der Dreiecke in Klassen kongruenter Dreiecke oder der Einteilung linearer Gleichungssysteme in Klassen äquivalenter Systeme das gleiche Denkprinzip zugrunde liegt. Diese inter­ essanten Analogien und überraschenden Zusammenhänge zwischen scheinbar weit auseinanderliegenden Gebieten wer­ den uns ermöglichen, mathematische Inhalte zu ordnen und zu systematisieren. Solche Analogien bemerken wir auch bei der Untersuchung der Eigenschaften von Rechenoperationen in gewissen Mengen; z. a. gehorchen die Multiplikation rationaler Zahlen, die Addition von Vektoren, die Nacheinanderausführung von Drehungen um einen festen Punkt der Ebene, die Addition von Funktionen nahezu demselben "Regelwerk". Offenbar ist es nicht so wesentlich, womit guy rechnet, sondern vielmehr wie guy rechnet, und als sehr fruchtbar erweist sich die Idee, von der konkreten Natur der Elemente der Menge, der konkreten inhaltlichen Deutung der Operationen abzusehen und Mengen irgendwelcher Elemente zu betrachten, in denen irgendwelche Operationen definiert sind, die bestimmten wohldefinierten Regeln genügen sollen. Dies führt zum Begriff der algebraischen Struktur, und die konkreten Mengen mit konkreten, jenen Regeln gehorchenden Operationen sind dann Modelle für diese Struktur.

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Foundations of algebraic analysis

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Tutorium Algebra: Mathematik von Studenten für Studenten erklärt und kommentiert

In einer Algebra-Vorlesung beschäftigt guy sich nicht mehr mit Linearer Algebra, sondern es wird abstrakter. Um die Studierenden beim Verständnis für diesen abstrakten Stoff zu unterstützen, erscheint nun mit "Tutorium Algebra" ein weiterer Band der Tutoriums-Reihe der Mathematikstudenten Modler und Kreh.

Group Theory and Its Applications, Volume II

Staff conception and its purposes, quantity II covers the 2 extensive components of functions of team conception, particularly, all atomic and molecular phenomena, in addition to all points of nuclear constitution and effortless particle idea. This quantity comprises 5 chapters and starts with the illustration and tensor operators of the unitary teams.

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Die Mächtigkeit einer solchen Menge würde also "zwischen" dem abzählbar Unendlichen und dem Kontinuum liegen. Die sogenannte Kontinuumshypothese schließt die Existenz solcher Mengen aus. 9. Aufgaben 1. Man schreibe folgende Mengen in der Form M = {x I XE E und H(x)}. a) MI: Die Menge aller rationalen Zahlen, die entweder größer als 2 oder kleiner als - 2 sinä. b) M 2 : {+l; -I}. c) M 3 : Die Menge aller rationalen Zahlen, die sowohl kleiner als 7t als auch größer als ~2 sind. 2. Drei Geraden G 10 G 2 , G3 einer Ebene werden durch folgende Gleichungen beschrieben: (GI) X + 2y = 4, (G 2 ) X - 2y = 0, (G 3 ) 3x - 2y = 4.

Nun wird jedem Bruch : eine Klasse K ( :) solcher Brüche zugeordnet durch die Vorschrift: ~ E K (:) genau dann, wenn a . d = c . b. Beispielsweise enthält die Klasse K ( ~) u. a. die .. 1 2 3 15 113 Bruche 3' 6' 9' 45' 339 . Prüfen wir, ob diese Vorschrift zu einer Klasseneinteilung der Menge aller Brüche führt. (a) Ein beliebiger Bruch : kommt in mindestens einer der Klassen vor, nämlich in der Klasse K ( :), denn wegen ab = ab ist : 3· E K( :). 36 1. Mengen (b) Sind K (:) und K (~) verschiedene Klassen, so sind sie elementefremd, was man am einfachsten indirekt zeigt: Wäre ~ ein Element, das beiden Klassen und mithin ihrem Durch:chnitt angehört, so würde aus ay ~ E K (:) folgen, daß = xb, und analog erhielte man ey y= xd aus ; E K (~) .

Deshalb möchte er sein Hab und Gut so aufteilen, daß kein Objekt bei der Verteilung auf die Erben unberücksichtigt bleibt, daß aber auch keines der Objekte mehreren Erben zugesprochen wird. Außerdem soll jeder gesetzliche Erbe bedacht werden. Respektieren die Erben dann seinen Willen, gibt es keine Unstimmigkeiten über die Aufteilung des Erbgutes. Das ver anlaßt uns zu überlegen, welchen Prinzipien eine Einteilung oder Zerlegung einer Menge M in Teilmengen, die man dann Klassen nennt, gehorchen muß.

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