Lineare Algebra und lineare Optimierung: Mathematische by Franz Josef Fay

By Franz Josef Fay

Bei der Behandlung linearer Optimierungsprobleme werden mathematische Kenntnisse benotigt, ilber die mancher Leser noch von seiner Schulzeit her ver filgen wird. Er kann dann der Losung der gestellten Probleme im nachfolgen den Abschnitt der Linearplanung wo l ohne groj3ere Schwierigkeiten folgen. Den weitaus meisten Lesern wird aber die dort verwendete Symbolik der Mengenlehre noch nicht geliiufig sein. Deshalb wird im ersten Kapitel eine Ein filhrung in die Mengenlehre gegeben. Sie wird nur so weit getrieben, als Sprache und Symbolik der Mengenlehre in den spiiteren Ausfilhrungen der Linearplanung Verwendung finden. Es muj3 insbesondere der Begriff der Er filllungsmenge von Gleichungs- und Ungleichungssystemen verstiindlich werden. Viele Benutzer dieses Buches werden dankbar sein, wenn in einem zweiten Kapitel diejenigen Grundbegriffe aus der Gleichungs- und Ungleichungslehre und aus der Funktionentheorie aufgefrischt und zusammenfassend dargestellt werden, die in den Rechnungen und Zeichnungen der Linearplanung auf treten. Die Behandlung von linearen Gleichungssystemen gibt Veranlassung, dem Leser eine Einfilhrung in die Determinantenlehre anzubieten. Da Determinanten und Matrizen in der WirtschaJtstheorie immer hiiufiger benutzt werden, dilrfte auch dieses Kapitel vie len Benutzern des Buches willkommen sein. Die Beherrschung des Rechnens mit Determinanten ist aber nicht Voraussetzung filr das Ver stiindnis der nachfolgenden Ausfilhrungen ilber Linearplanung.

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K . alm . . aln a21 ... k·a2m ... a2n all a12 ... aln a21 a22 ... alln = anl. Beweis des Satzes fur Ordnung . k ·anm ••• ann die Determinante dritter Der Satz behauptet: k' all a12 a13 a21 822 a23 all a12 alS k·a21 k·a22 k·a2S aS1 a32 ass asl a32 ass Entwickelt man die rechte Determinante nach der Sarrusschen Regel, dann erhiilt man sechs Produkte, die aIle den Faktor k aufweisen, den man also ausklammern kann. In der Klammer erscheinen die gleichen Produkte, die man bei der Entwicklung der linken Determinante erhiilt.

Es wurde das sog. Skalarprodukt aus zwei einreihigen Matrizen gebildet. 49 Lineare Algebra Matrizenrechnung c) Das skalare Produkt Einzeilige Matrizen bezeichnet man auch als Zeilenvektoren1), einspaltige als Spaltenvektoren. Multipliziert man nach obigem Beispiel einen solchen Zeilenvektor mit einem Spaltenvektor gleicher Elementenzahl, dann erhalt man das skalare Produkt aus beiden Vektoren. So ist allgemein definiert: bt bs bg d) Das Produkt aus einer Matrix und einer Spaltenmatrix Das im Abschnitt b) erwahnte Verfahren, aIle einzelnen Tageskilometer und den zugehorigen Kilometerverbrauch miteinander zu multiplizieren, soIl nun in einer etwas abgeanderten Weise durchgefuhrt werden, indem die Kilometermatrix ~1 und die Matrix fur den Kilometerverbrauch b = (0,2 0,3 0,4 0,5) in ihrer transponierten Form ~1' und b' skalar miteinander multipliziert werden.

Die m • p Elemente der Ergebnismatriz bestehen aus den Skalarprodukten, die ;eweils n Summanden enthalten und die aus den m • p moglichen Kombinationen ;e einer Zeile der ersten Matrix mit einer Spalte der zweiten Matriz gebildet werden konnen. In einer Gleichung schreibt sich dieser Sachverhalt folgendermaBen: all a12 ....... aln a21 a22 ....... ~ aml am2 .. · .... amn ~: ....... , m CIk - .. , p So ergibt sich beispielsweise 'tl2s = (a21 822 .... s+822·h23+a23·bss+ ... +a2n·bns n == l: r-l a2r' brs m .

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